Des Maths Amusantes... Les énigmes : le stylo et sa cartouche
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C'est mon énigme préférée, une idée ingénieuse pour faire des maths autrement !
La consigne est courte
chaque élève se lance donc facilement dans la recherche
Les données sont simples
on voit apparaitre beaucoup de réponses en moins d'une minute
on voit apparaitre les mêmes erreurs
C'est en analysant ces erreurs que l'on insiste sur l'utilité de chercher mais aussi de vérifier son résultat. Enfin on guidera les élèves vers le bon résultat sans jamais le donner, une évidence...
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L'énoncé Léa aime écrire avec un stylo plume. Elle achète donc un stylo plume vide et une cartouche d'encre. Ce stylo et une cartouche coûtent 2€. Ce stylo coûte 1€ de plus que la cartouche. Quel est le prix de ce stylo? Quel est le prix de la cartouche? |
"Il n'y a pas que les nombres entiers dans la vie..."
"Alors, on oublie les nombres décimaux?"
C'est d'ailleurs une des raisons pour laquelle, les nombres décimaux ont été inventé.
C'est pour résoudre des problèmes quand les nombres entiers ne suffisent pas!
En cherchant, d'autres élèves trouvent. Mon objectif maintenant est de leur proposer une méthode "experte" pour trouver de façon certaine et rapide, la réponse de ce style de problème : une occasion en or pour introduire le calcul littéral !
Commençons l'initiation au calcul littéral !
Souvent les lettres font peur en 6eme, j'utilise donc un dessin : un cœur et une étoile pour chaque 'inconnue" par exemple. Je lance alors un débat mathématiques tout en introduisant les 2 "inconnues" , du vocabulaire et en guidant leurs calculs.
Maintenant revenons aux lettres, le principe étant le même...
On pourrait dire que le stylo coûte x € et la cartouche coûte y €
Voyons les manières de "bidouiller" avec du calcul littéral pour trouver les valeurs de x et y que nous appellerons les 2 inconnues.
Même pas peur, on l'utilise le calcul littéral depuis longtemps...
Oui, quand on calcule l'aire d'un rectangle, on fait bien Lxl !
On sait donc x + y = 2 car Un stylo et sa cartouche coûtent 2€.
Mais aussi x = y + 1 car Le stylo coûte 1€ de plus que la cartouche
Voici les 2 égalités ( nos fameuses 2 vérifications à faire ) avec des lettres,
on appelle cela des équations.
Remplaçons le x dans la deuxième équation dans la première équation :
x + y = 2
Devient y + 1 + y = 2 On a donc 2xy + 1 = 2
Par convention, 2xy se notera 2y comme "2 fois une patate se dit 2patates"
On peut lire que 2y + 1 = 2
Il faut bien ajouter 1 pour aller de 1 à 2 donc 2y = 1Au final, y est la moitié de 1 soit y = 0,5
Comme on sait que x = y + 1 alors x = 0,5 + 1 = 1,5
Et quand on vérifie, ça marche !
Il y a 1€ d’écart et la somme des deux articles vaut 2€.
Ainsi le stylo coûte 1,5€ et la cartouche 0,5€ . On vient de trouver ces 2 inconnues de façon certaine : on a résolu des équations!
Remarque : une fois que y = 0,5 est trouvé, est ce qu'on aurait pu le remplacer dans l'autre équation , x + y = 2 ?
Regardons :
On a donc x + 0,5 = 2
Il faut bien rajouter 1,5 à 0,5 pour avoir 2 , ainsi x = 2 - 0,5 = 1,5
ça marche :) "En faisant même une petite initiation à la transposition"
Je parlais de manièreS de "bidouiller" avec du calcul littéral pour trouver les inconnues.
En fait, on pourrait suggérer qu'il y a qu'UNE seule inconnue. En effet si y est le prix de la cartouche, le stylo coûtera forcément y + 1
On devient alors expert :
y + 1 + y = 2 devient 2y + 1 = 2
donc 2y = 1 et au final, y = 1 : 2 = 0,5 "petite initiation à la transposition"
Comme x + y = 2 alors x + 0,5 = 2
Il faut bien ajouter 1,5 pour aller de 0,5 à 2 donc x = 2 - 0,5 = 1,5
Et quand on vérifie, ça marche ! Ainsi le stylo coûte 1,5€ et la cartouche 0,5€
Voici une énigme plus complexe pour te perfectionner...
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