Des Maths Amusantes... Les énigmes : le stylo et sa cartouche

C'est mon énigme préférée, une idée ingénieuse pour faire des maths autrement !

jeusetetmaths.7

La consigne est courte

chaque élève se lance donc facilement dans la recherche

Les données sont simples

on voit apparaitre beaucoup de réponses en moins d'une minute

on voit apparaitre les mêmes erreurs

C'est en analysant ces erreurs que l'on insiste sur l'utilité de chercher mais aussi de vérifier son résultat. Enfin on guidera les élèves vers le bon résultat sans jamais le donner, une évidence...

 

L'énoncé

Léa aime écrire avec un stylo plume. Elle achète donc un stylo plume vide et une cartouche d'encre. Ce stylo et une cartouche coûtent 2€. Ce stylo coûte 1€ de plus que la cartouche.

Quel est le prix de ce stylo? Quel est le prix de la cartouche?

 

 

 

Je vous laisse chercher avant de découvrir plusieurs pistes
Si vous ne cherchez pas, cet article n'a aucun intérêt :)

 

   

La première réponse proposée est
le stylo coûte 1 € et la cartouche coûte 1 € ...
ICI nous voyons bien que les 2 articles coutent 2€ ensemble mais le stylo ne coûte pas 1€ de plus que la cartouche... La vérification n'a pas été effectuée
 
La deuxième réponse proposée est
" M'adame, C'est possible si un est gratuit?"
" Oui bien sûr, mais il faut penser à vérifier..."
ET VOILA : le stylo coûte 2 € et la cartouche coûte 0 € ...
ICI nous voyons bien aussi que les 2 articles coûtent 2€ mais le stylo ne coûte toujours pas 1€ de plus que la cartouche... La vérification n'a pas été effectuée
 
"Pff..." La troisième réponse proposée est
le stylo coûte 2 € et la cartouche coûte 1 € ...
ICI on voit bien que les 2 erreurs précédentes ont été prises en compte : le stylo coûte 1€ de plus que la cartouche. Mais... les 2 articles coûtent 3€ !
Cette vérification n'a pas été effectuée
 
On cherche encore, certains trouvent en voyant qu'il y a 2 conditions à vérifier. Pour éviter de "perdre" les élèves en détresse, je leur explique que leurs erreurs sont logiques, elles vérifient en revanche qu'une seule des deux conditions. De plus, seuls les chiffres 1 et 2 apparaissent, c'est très trompeur...
Je leur propose alors un indice :
 

"Il n'y a pas que les nombres entiers dans la vie..."

"Alors, on oublie les nombres décimaux?"

C'est d'ailleurs une des raisons pour laquelle, les nombres décimaux ont été inventé.

C'est pour résoudre des problèmes quand les nombres entiers ne suffisent pas!

 

En cherchant, d'autres élèves trouvent. Mon objectif maintenant est de leur proposer une méthode "experte" pour trouver de façon certaine et rapide, la réponse de ce style de problème : une occasion en or pour introduire le calcul littéral !

Comme on vient de la voir, on peut y arriver en cherchant des nombres décimaux mais ça peut être long, très long... Quand on sait cela et que l'on a un peu d'expérience mathématique, on fait ce qu'on appelle du calcul littéral, oui oui, du calcul avec des lettres ...
 
 
C'est pour résoudre des problèmes complexes,
qu'on a inventé le Calcul Littéral, quand les nombres ne suffisent pas!

 

Commençons l'initiation au calcul littéral !

 

Souvent les lettres font peur en 6eme, j'utilise donc un dessin : un cœur et une étoile pour chaque 'inconnue" par exemple. Je lance alors un débat mathématiques tout en introduisant les 2 "inconnues" , du vocabulaire et en guidant leurs calculs.

 

Des Maths Amusantes... Les énigmes : le stylo et sa cartouche

Maintenant revenons aux lettres, le principe étant le même...

On pourrait dire que le stylo coûte x € et la cartouche coûte y

 

Voyons les manières de "bidouiller" avec du calcul littéral pour trouver les valeurs de x et y que nous appellerons les 2 inconnues.

Même pas peur, on l'utilise le calcul littéral depuis longtemps...

Oui, quand on calcule l'aire d'un rectangle, on fait bien Lxl !

 

On sait donc x + y = 2 car Un stylo et sa cartouche coûtent 2€.

Mais aussi  x = y + 1 car Le stylo coûte 1€ de plus que la cartouche

Voici les 2 égalités ( nos fameuses 2 vérifications à faire ) avec des lettres,

on appelle cela des équations.

 

Remplaçons le x dans la deuxième équation dans la première équation :

                           x + y = 2

Devient y + 1 + y = 2   On a donc 2xy + 1 = 2

Par convention, 2xy se notera 2y comme "2 fois une patate se dit 2patates"

On peut lire que  2y + 1 = 2

Il faut bien ajouter 1 pour aller de 1 à 2  donc 2y = 1

Au final, y est la moitié de 1 soit  y = 0,5

Comme on sait que  x = y + 1 alors x = 0,5 + 1 = 1,5

Et quand on vérifie, ça marche !

Il y a 1€ d’écart et la somme des deux articles vaut 2€.

Ainsi le stylo coûte 1,5€ et la cartouche 0,5€ . On vient de trouver ces 2 inconnues de façon certaine : on a résolu des équations!

 

Remarque : une fois que y = 0,5 est trouvé, est ce qu'on aurait pu le remplacer dans l'autre équation , x + y = 2 ?

Regardons :

On a donc x + 0,5 = 2

Il faut bien rajouter 1,5 à 0,5 pour avoir 2 , ainsi x = 2 - 0,5 = 1,5

ça marche :) "En faisant même une petite initiation à la transposition"

 

Je parlais de manièreS de "bidouiller" avec du calcul littéral pour trouver les inconnues.

 

En fait, on pourrait suggérer qu'il y a qu'UNE seule inconnue. En effet si y est le prix de la cartouche, le stylo coûtera forcément y + 1

On devient alors expert :

y + 1 + y = 2   devient  2y + 1 = 2

donc 2y = 1 et au final, y = 1 : 2 = 0,5  "petite initiation à la transposition"

Comme x + y = 2 alors x + 0,5 = 2

Il faut bien ajouter 1,5 pour aller de 0,5 à 2  donc x = 2 - 0,5 = 1,5

Et quand on vérifie, ça marche ! Ainsi le stylo coûte 1,5€ et la cartouche 0,5€

 
 

Voici une énigme plus complexe pour te perfectionner...

 

 

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more 06/10/2014 14:13

If the students are taught and learned in this manner, it will help eliminate the fear of the mathematics among the students. Very interesting and helpful share you have here about the The Pen And Cartridge method of teaching maths.

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